В четырёхугольнике MNPQ угол N на 10° больше угла M, угол P на 10° больше угла N, угол Q на 10° больше угла P. Найдите все четыре угла.

Step-by-step solution

1. 1

   Выразим каждый угол через одну переменную. Пусть $\widehat{M}=x$. По условиям задачи,

   $\widehat{N}=x+10^{\circ},\qquad \widehat{P}=(x+10^{\circ})+10^{\circ}=x+20^{\circ},\qquad \widehat{Q}=x+30^{\circ}$

   Каждое следующее равенство ссылается на предыдущий угол, поэтому прибавления $10^{\circ}$ накапливаются, а не остаются постоянными.

2. 2

   Используем сумму углов четырёхугольника. В любом четырёхугольнике сумма внутренних углов равна $360^{\circ}$ (можно разбить его на два треугольника):

   $x+(x+10^{\circ})+(x+20^{\circ})+(x+30^{\circ})=360^{\circ}$

3. 3

   Решим полученное линейное уравнение.

   $4x+60^{\circ}=360^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad 4x=300^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad x=75^{\circ}$

4. 4

   Запишем все четыре угла.

   $\widehat{M}=75^{\circ},\quad \widehat{N}=85^{\circ},\quad \widehat{P}=95^{\circ},\quad \widehat{Q}=105^{\circ}$

   $\boxed{75^{\circ},\ 85^{\circ},\ 95^{\circ},\ 105^{\circ}}$

5. 5

   Проверим сумму и заметим удобный приём. $75+85+95+105=360$ — сумма совпадает. Поскольку углы образуют арифметическую прогрессию, их среднее — $360\div 4=90^{\circ}$, что находится ровно посередине между двумя средними углами: $\tfrac{85+95}{2}=90^{\circ}$. Это позволяет сразу записать: средние углы $90\mp 5$, крайние — $90\mp 15$.

6. 6

   Убедимся, что четырёхугольник можно построить. Все четыре угла строго между $0^{\circ}$ и $180^{\circ}$, значит, четырёхугольник выпуклый и не содержит развёрнутых углов.