Упростить булево выражение M = W'XY' + WXY' + XY'Z, где апостроф обозначает инверсию.

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём произведение, общее для всех слагаемых. Литералы по слагаемым таковы: $\{\overline{W},X,\overline{Y}\}$, $\{W,X,\overline{Y}\}$ и $\{X,\overline{Y},Z\}$. Пара $X\overline{Y}$ входит во все три, поэтому по закону дистрибутивности её можно вынести за скобку — карта Карно здесь не нужна: $M=X\overline{Y}\left(\overline{W}+W+Z\right).$

2. 2

   Применим закон дополнения внутри скобки. Для любой переменной $\overline{W}+W=1$: хотя бы одно из двух — переменная или её инверсия — всегда истинно. Подставляем: $M=X\overline{Y}\left(1+Z\right).$

3. 3

   Применим закон поглощения единицей. В булевой алгебре дизъюнкция чего угодно с $1$ даёт $1$: $1+Z=1.$ Именно здесь булева алгебра расходится с обычной арифметикой — переноса разрядов нет, и $1$ поглощает всё.

4. 4

   Завершим упрощение. $M=X\overline{Y}\cdot 1=X\overline{Y}.$ Три минтерма по три литерала свернулись в одно произведение из двух литералов, так что схеме нужен всего один инвертор и один элемент И вместо трёх элементов И и одного ИЛИ.

5. 5

   Проверим по таблице истинности. $M$ должно равняться $1$ ровно тогда, когда $X=1$ и $Y=0$, при любых $W$ и $Z$. Проверяем исходное выражение: при $X=1,Y=0$ три слагаемых превращаются в $\overline{W}$, $W$ и $Z$, а $\overline{W}+W+Z=1$ всегда. При $X=0$ каждое слагаемое содержит множитель $X=0$, значит $M=0$; при $Y=1$ каждое слагаемое содержит $\overline{Y}=0$, и снова $M=0$. Все 16 строк набора $(W,X,Y,Z)$ согласуются с $X\overline{Y}$.