一副 60 張的牌中有 5 張標記 A、另有 23 張不同的牌標記 B。不放回地隨機抽出 5 張牌，這 5 張同時至少含一張 A 與一張 B 的機率是多少？

Step-by-step solution

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   先把牌分成三個互斥的群。 兩種標記不重疊，所以整副牌分成

   $5\ \text{marked A},\qquad 23\ \text{marked B},\qquad 60-5-23=32\ \text{unmarked}$

   後面每一次計數都是從其中某一堆裡選 $5$ 張，而所有等機率的手牌總數是

   $\binom{60}{5}=5{,}461{,}512$

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   改用餘事件 —— 「至少一張……又至少一張……」正面硬幹很痛苦。 一邊數 $1$ 張 A、$2$ 張 A、$3$ 張 A……一邊還要追蹤 B，會變成雙重和。改設

   $A=\{\text{at least one A}\},\qquad B=\{\text{at least one B}\}$

   並對餘事件用排容原理：

   $P(A\cap B)=1-P(A^c\cup B^c)=1-P(A^c)-P(B^c)+P(A^c\cap B^c)$

   這三個餘事件各自都只描述「從單一受限的牌堆裡抽牌」，所以每個都只是一個組合數。$+P(A^c\cap B^c)$ 這一項不可省：兩種標記都沒有的手牌被減了兩次，必須加回來一次。

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   數出沒有 A 的手牌。 它們來自 $60-5=55$ 張非 A 的牌：

   $P(A^c)=\frac{\binom{55}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{3{,}478{,}761}{5{,}461{,}512}=0.63696$

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   數出沒有 B 的手牌。 它們來自 $60-23=37$ 張非 B 的牌：

   $P(B^c)=\frac{\binom{37}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{435{,}897}{5{,}461{,}512}=0.07981$

   這個機率很小，正是我們預期的合理性檢查：$60$ 張裡有 $23$ 張標 B，抽五張卻一張都沒抽到，本來就該很不容易。

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   數出兩種標記都沒有的手牌。 它們只能從 $32$ 張未標記的牌裡抽：

   $P(A^c\cap B^c)=\frac{\binom{32}{5}}{\binom{60}{5}}=\frac{201{,}376}{5{,}461{,}512}=0.03687$

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   合併起來。 把四個計數放到共同分母 $\binom{60}{5}$ 上：

   $P(A\cap B)=\frac{5{,}461{,}512-3{,}478{,}761-435{,}897+201{,}376}{5{,}461{,}512}=\frac{1{,}748{,}230}{5{,}461{,}512}$

   $P(A\cap B)=0.32010\approx32.0\%$

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   拿粗略的期望值來檢查結果。 單看「至少抽到一張 A」的機率是 $1-0.63696=0.36304$，單看「至少抽到一張 B」是 $1-0.07981=0.92019$。若兩事件獨立，乘積會是 $0.36304\times0.92019=0.33406$；真正的答案 $0.32010$ 略低一些，這完全正確 —— 兩事件是輕微負相關的，因為五張手牌裡被 A 佔掉的位置，就是不能放 B 的位置。