把 x 平方加 8x 等於負 4y 減 8 化成標準式，然後找出這條拋物線的頂點、焦點、對稱軸與準線。

Step-by-step solution

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   先決定對哪個變數配方。 只有 $x$ 出現平方，所以這是 $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ 這一族的鉛直拋物線。把 $x$ 的項收在一邊、讓 $y$ 以一次式留在另一邊，正是那個形式所要求的。

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   對 $x$ 配方。 係數 $8$ 的一半是 $4$，而 $4^2 = 16$，所以兩邊各加 $16$ 以維持等式：

   $x^2 + 8x + 16 = -4y - 8 + 16$

   $(x+4)^2 = -4y + 8$

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   把右邊因式分解，露出 $4p$ 與 $k$。 提出 $-4$ 就化成標準式：

   $(x+4)^2 = -4(y-2)$

   與 $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ 對照得 $h=-4$、$k=2$、$4p=-4$，所以 $p=-1$。$p$ 為負代表拋物線開口向下。

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   讀出頂點與對稱軸。 頂點是 $(h,k) = (-4,\,2)$，對稱軸是通過它的鉛直線 $x=-4$。曲線上的每一點都以這條線互為鏡像。

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   用 $p$ 定出焦點與準線。 焦點位於頂點內側距離 $|p|$ 處，準線則在外側同樣的距離：

   $\text{focus} = (h,\ k+p) = (-4,\ 1), \qquad \text{directrix: } y = k - p = 3$

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   用拋物線的定義驗算。 曲線上任何一點到焦點與到準線的距離必須相等。取 $x=0$ 得 $y=-2$：到焦點 $(-4,1)$ 的距離是 $\sqrt{4^2+3^2}=5$，到直線 $y=3$ 的距離是 $|-2-3| = 5$。兩者一致，確認焦點與準線都對。