Chemistry · real student question

Mg2+ 離子與 S2- 離子之間的吸引力為 1.49 乘 10 的負 8 次方牛頓。陰離子半徑為 0.184 奈米、陽離子半徑為 0.065 奈米。取 Born 指數 n = 8，計算兩離子剛好接觸時的淨位能。

Question

Mg2+\mathrm{Mg^{2+}} 離子與 S2−\mathrm{S^{2-}} 離子之間的吸引力為 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N}。陰離子半徑為 0.184 nm0.184\ \mathrm{nm}、陽離子半徑為 0.065 nm0.065\ \mathrm{nm}。

取 Born 指數 n=8n=8，計算兩離子剛好接觸時的淨位能 EnetE_{\text{net}}。

Step-by-step solution

  1. 先求接觸時的間距。 「剛好接觸」表示核心到核心的距離就是兩個離子半徑之和，而這也正是平衡間距 r0r_0：

    r0=0.065+0.184=0.249 nm=2.49×10−10 m.r_0=0.065+0.184=0.249\ \mathrm{nm}=2.49\times 10^{-10}\ \mathrm{m}.

  2. 由題給的力反推吸引常數。 庫侖吸引力的形式是 F=Ar2F=\dfrac{A}{r^2}，其中 A=k ∣z1z2∣e21A=\dfrac{k\,|z_1 z_2|e^2}{1} 把所有電荷相關的常數都打包起來。與其去查那些常數，不如直接從量到的力讀出 AA：

    A=Fr02=(1.49×10−8)(2.49×10−10)2=9.24×10−28 J⋅m.A=F r_0^{2}=\left(1.49\times 10^{-8}\right)\left(2.49\times 10^{-10}\right)^{2}=9.24\times 10^{-28}\ \mathrm{J\cdot m}.

  3. 寫出淨能量的 Born 模型。 吸引與短程排斥合起來是

    Enet=−Ar+Brn,E_{\text{net}}=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{n}},

    其中排斥項上升得非常陡（這裡 n=8n=8），阻止兩個離子塌縮在一起。

  4. 用平衡條件把 BB 消掉。 在 r=r0r=r_0 處能量取極小值，所以 dEdr=0\dfrac{dE}{dr}=0：

    Ar02−nBr0 n+1=0 ⟹ B=A r0 n−1n.\frac{A}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0\ \Longrightarrow\ B=\frac{A\,r_0^{\,n-1}}{n}.

    代回去就把兩項的模型收成一條乾淨的式子：

    Enet=−Ar0+Anr0=−Ar0(1−1n).E_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}+\frac{A}{n r_0}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).

    這就是為什麼永遠不必真的算出 BB：在平衡處，排斥恰好抵消掉吸引的 1/n1/n 那一份。

  5. 代入數字。 n=8n=8 時括號是 78\tfrac78：

    Ar0=9.24×10−282.49×10−10=3.71×10−18 J,Enet=−78(3.71×10−18)≈−3.25×10−18 J.\frac{A}{r_0}=\frac{9.24\times 10^{-28}}{2.49\times 10^{-10}}=3.71\times 10^{-18}\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{net}}=-\frac{7}{8}\left(3.71\times 10^{-18}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}.

    負號確認這是一個束縛住的、穩定的離子對。

  6. 用庫侖定律回頭檢查題給的力。 取 z1=+2z_1=+2、z2=−2z_2=-2、k=8.988×109k=8.988\times 10^{9}、e=1.602×10−19 Ce=1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}：

    F=k (2e)(2e)r02=1.488×10−8 N,F=\frac{k\,(2e)(2e)}{r_0^{2}}=1.488\times 10^{-8}\ \mathrm{N},

    與題給的 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N} 相符，所以資料本身是自洽的。

Answer

Enet=−Ar0(1−1n)≈−3.25×10−18 JE_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}

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