Soma de Riemann

Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva $y = f(x)$ em $[a, b]$ dividindo o intervalo em $n$ subintervalos de largura $\Delta x = (b-a)/n$ e somando as áreas de $n$ retângulos:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

onde $x_i^*$ é um ponto de amostragem no $i$-ésimo subintervalo. Escolhas comuns:

• Soma de Riemann à esquerda: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Soma de Riemann à direita: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Regra do ponto médio: ponto médio do subintervalo (mais precisa).

Quando $n \to \infty$ (os retângulos ficam arbitrariamente finos), se $f$ for integrável, a soma de Riemann converge para a integral definida:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Essa definição da integral conecta a soma discreta com a área contínua, motivando a notação integral $\int$ como um "S esticado" de soma. As somas de Riemann também são a base de toda integração numérica (regra do trapézio, regra de Simpson).