Otimização (cálculo)

A otimização é a prática de encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função. Procedimento padrão:

1. Monte a função $f(x)$ que se quer maximizar/minimizar a partir do enunciado.
2. Derive para obter $f'(x)$.
3. Encontre os pontos críticos: resolva $f'(x) = 0$ (e identifique onde $f'$ não existe).
4. Classifique cada um: teste da segunda derivada ($f''(c) > 0$ → mínimo; $< 0$ → máximo), ou mudança de sinal da primeira derivada.
5. Compare com os extremos se o domínio for um intervalo fechado (Teorema do Valor Extremo).

Problemas clássicos: o maior retângulo inscrito em uma circunferência, a lata cilíndrica mais barata com volume fixo, a caixa de volume máximo a partir de uma folha quadrada.

A otimização multivariável usa o gradiente ($\nabla f = \vec{0}$) e a matriz hessiana. A otimização com restrições usa multiplicadores de Lagrange. A técnica está na base do projeto de engenharia, da economia e do treinamento de modelos de aprendizado de máquina.