Teorema do valor médio

O teorema do valor médio (TVM) é um resultado fundamental do cálculo. Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, existe ao menos um ponto $c \in (a, b)$ tal que

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Geometricamente: a reta tangente em $c$ é paralela à reta secante que passa por $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.

Intuição (analogia ao dirigir): se você percorre 60 milhas em 1 hora, sua velocidade média é 60 mph; o TVM garante que em algum instante sua velocidade instantânea foi exatamente 60 mph.

O TVM é o motor por trás de:

• O teste de crescimento/decrescimento ($f' > 0 \implies$ crescente).
• A demonstração do teorema fundamental do cálculo.
• Cotas de erro em métodos numéricos (teorema de Taylor com resto).
• Teoremas de unicidade para equações diferenciais.

Um caso especial ($f(a) = f(b)$) é o teorema de Rolle: existe um $c$ onde $f'(c) = 0$.