Lei dos senos

A lei dos senos vale para qualquer triângulo (não apenas triângulos retângulos):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

onde $a, b, c$ são os comprimentos dos lados opostos aos ângulos $A, B, C$, e $R$ é o raio da circunferência circunscrita.

Casos de uso:

1. AAL ou ALA: dados dois ângulos e um lado, encontrar os demais lados.
2. LLA (caso ambíguo): dados dois lados e um ângulo não incluído. Pode resultar em zero, um ou dois triângulos válidos — verifique sempre.

A lei dos cossenos $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ é o teorema complementar para os casos LLL e LAL. Juntas, resolvem completamente qualquer triângulo: dados quaisquer três dados independentes, é possível encontrar os seis (3 lados + 3 ângulos).

Demonstração: trace uma altura a partir de um vértice; ela tem comprimento $b \sin A$ medida de um modo e $a \sin B$ medida do outro. Iguale para obter $a/\sin A = b/\sin B$.