Lei dos cossenos

A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

onde $c$ é o lado oposto ao ângulo $C$, e $a, b$ são os outros dois lados. De forma simétrica: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

Caso especial: quando $C = 90°$, $\cos 90° = 0$, e a fórmula se reduz a $c^2 = a^2 + b^2$ — o teorema de Pitágoras.

Casos de uso:

• LLL: dados os três lados, encontrar um ângulo: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• LAL: dados dois lados e o ângulo entre eles, encontrar o terceiro lado diretamente.

É o complemento da lei dos senos $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Juntas, elas resolvem os quatro casos de resolução de triângulos (LLL, LAL, ALA, AAL) — apenas o LLA (o caso ambíguo) exige cuidado adicional.

A lei dos cossenos é também a origem geométrica do produto escalar na análise vetorial: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.