Uma integral imprópria tem pelo menos uma das seguintes características:

Limite infinito: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ ou $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ .
Integrando ilimitado em algum ponto de $[a, b]$ (assíntota vertical).

Ambas são avaliadas como limites de integrais próprias:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Se o limite for finito, converge; caso contrário, diverge.

Exemplos famosos:

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
$\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (um decaimento mais lento diverge)
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — integral gaussiana.

Os critérios de convergência (comparação, critério p) decidem se vale a pena integrar. Integrais impróprias aparecem na probabilidade (normalização da FDP), nas transformadas de Fourier e na física.

Integral imprópria

Uma integral imprópria tem um limite infinito ou um integrando ilimitado em algum ponto do intervalo. É avaliada como um limite de integrais próprias.