A derivação implícita encontra $\frac{dy}{dx}$ quando $y$ é definido implicitamente por uma equação, sem antes isolar $y$ explicitamente. É especialmente útil quando isolar $y$ é difícil ou impossível.

Procedimento: derivar ambos os lados da equação em relação a $x$ , tratando $y$ como uma função de $x$ (de modo que cada termo em $y$ ganha um $\frac{dy}{dx}$ pela regra da cadeia) e, em seguida, isolar $\frac{dy}{dx}$ .

Exemplo: para $x^2 + y^2 = 25$ (uma circunferência):

Derivamos ambos os lados: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ .
Isolamos: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Isso fornece a inclinação em qualquer ponto da circunferência sem precisar de $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ .

A derivação implícita é a ferramenta padrão para:

Retas tangentes a curvas que não são gráficos de funções.
Problemas de taxas relacionadas (água enchendo um cone, escada deslizando por uma parede).
Derivar funções inversas (a dedução de $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ a utiliza).
Resolver equações diferenciais e curvas de propriedade constante (curvas de nível).

Derivação implícita

A derivação implícita encontra dy/dx quando y é definido implicitamente por uma equação (como x²+y²=25), sem antes isolar y.