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calculus

Rotacional (cálculo vetorial)

O rotacional de um campo vetorial mede a rotação local. ∇×F fornece um vetor que aponta ao longo do eixo de rotação, com magnitude proporcional à velocidade de giro.

O rotacional de F⃗\vec{F} em R3\mathbb{R}^3 é, ele próprio, um campo vetorial, calculado por um produto vetorial formal:

∇×F⃗=(∂F3∂y−∂F2∂z, ∂F1∂z−∂F3∂x, ∂F2∂x−∂F1∂y).\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right).

A magnitude mede a taxa de rotação local; a direção é o eixo de rotação (regra da mão direita).

Um campo com ∇×F⃗=0⃗\nabla \times \vec{F} = \vec{0} é irrotacional — campos gradiente (conservativos) são sempre irrotacionais. Um rotacional não nulo indica circulação local.

O teorema de Stokes iguala a integral de superfície do rotacional à integral de linha de F⃗\vec{F} ao longo da fronteira. Usado no eletromagnetismo (lei de Maxwell-Faraday), na dinâmica de fluidos (vorticidade) e na aerodinâmica.