Convergência

A convergência descreve quando uma sequência ou série se aproxima de um limite finito.

Sequência: $\{a_n\}$ converge para $L$ se, para todo $\varepsilon > 0$, existe um $N$ tal que $|a_n - L| < \varepsilon$ para todo $n > N$.

Série: $\sum a_n$ converge se suas somas parciais $S_n$ convergem.

Critérios padrão:

• Critério do n-ésimo termo: $a_n \not\to 0$ → diverge.
• Série geométrica: $\sum r^n$ converge se e somente se $|r| < 1$.
• Critério da comparação: limitar por uma série conhecida.
• Critério da razão: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → converge.
• Critério da integral: relaciona $\sum a_n$ com $\int_1^\infty f(x) dx$.
• Critério da série alternada: $\sum (-1)^n b_n$ converge se $b_n \to 0$ de forma monótona.

A convergência absoluta ($\sum |a_n|$ converge) é mais forte do que a convergência condicional. A série harmônica $\sum 1/n$ diverge; $\sum (-1)^n/n$ converge (alternada).