Uma função $f$ é contínua em $x = a$ se três condições forem satisfeitas:

$f(a)$ está definida,
$\lim_{x \to a} f(x)$ existe, e
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Intuitivamente: você consegue traçar o gráfico passando por esse ponto sem levantar o lápis. As descontinuidades comuns são removível (um buraco), de salto (os limites pela esquerda e pela direita diferem) e infinita (assíntota vertical).

A continuidade é o requisito básico da maioria dos teoremas do cálculo. O teorema do valor intermediário afirma que funções contínuas assumem todos os valores entre quaisquer duas saídas. O teorema do valor extremo garante que funções contínuas em um intervalo fechado atingem um máximo e um mínimo. A diferenciabilidade exige continuidade, mas a continuidade não implica diferenciabilidade — $|x|$ é contínua em toda parte, mas não é diferenciável em $0$ .

Continuidade

Uma função é contínua em um ponto se seu valor ali for igual ao limite de seus valores à medida que as entradas se aproximam do ponto — sem saltos, buracos ou assíntotas.