Números racionais vs irracionais

Racional e irracional são as duas metades dos números reais — todo real é exatamente um ou outro.

Números racionais

Um número real é racional se puder ser expresso como $\frac{p}{q}$ onde $p, q$ são inteiros e $q \neq 0$.

Caracterização decimal: os racionais têm decimais que ou terminam ($0.25 = \frac{1}{4}$) ou no fim se repetem ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

O conjunto dos racionais é denotado $\mathbb{Q}$. Embora seja denso (entre quaisquer dois racionais há outro racional), os racionais são enumeráveis — mesma cardinalidade que $\mathbb{N}$.

Números irracionais

Não podem ser expressos como razão de inteiros. Os decimais são não finitos e não periódicos.

Irracionais famosos:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (razão áurea) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

O conjunto dos irracionais é não enumerável — estritamente maior que o dos racionais, mesmo que os racionais sejam densos.

Por que isso importa

• O fato de $\sqrt{2}$ ser irracional foi uma célebre descoberta pitagórica (a lenda diz que Hipaso foi afogado por revelá-la).
• O fato de $\pi$ ser irracional significa que você nunca pode escrevê-lo como uma fração.
• O decimal de $1/7 = 0.\overline{142857}$ — o período de repetição é no máximo $q - 1$.

Como testar

Se você tem um número, pergunte:

• O decimal termina → racional.
• O decimal se repete com um período claro → racional.
• O decimal continua sem repetição (p. ex. $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → irracional.

Os testes algébricos usam o fechamento: os racionais são fechados sob $+, -, \times, /$ (exceto 0). A soma de dois irracionais pode ser racional (p. ex. $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).