Prismas e caixas

Cubo

$V = s^3$

Lado ao cubo. Um cubo de lado $s$ é preenchido por $s^3$ cubos unitários — versão 3D do argumento do quadrado unitário.

Prisma retangular (caixa)

$V = l \cdot w \cdot h$

Comprimento × largura × altura. Área da base $l w$ ; empilhando $h$ camadas dá $lwh$ .

Prisma geral

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

Área da base × altura. Pelo princípio de Cavalieri, qualquer prisma com mesma seção e altura tem mesmo volume — triangular, hexagonal, oblíquo, todos usam esta fórmula.

Pirâmides, cones e troncos

Pirâmide (geral)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

Um terço do prisma correspondente. O "um terço" sai de integrar $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ de 0 a $h$ — a seção encolhe linearmente.

Cone

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

Mesma regra do "um terço" da pirâmide, com base circular $\pi r^2$ . Três cones iguais preenchem exatamente um cilindro.

Tronco de cone

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

Duas faces circulares paralelas de raios $R$ (base) e $r$ (topo), altura $h$ . Sai subtraindo o cone pequeno do grande; o termo $Rr$ vem da diferença de cubos.

Cilindros

Cilindro

$V = \pi r^2 h$

Caso particular do prisma geral: base circular $\pi r^2$ empilhada até altura $h$ . Cilindros oblíquos usam a mesma fórmula pelo princípio de Cavalieri.

Cilindro oco (tubo)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

Volume do cilindro externo menos o interno — o mesmo truque da coroa, agora em 3D.

Esferas e elipsoides

Esfera

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

O famoso "quatro terços pi r ao cubo". Resultado de Arquimedes: a esfera é exatamente $\tfrac{2}{3}$ do menor cilindro que a contém.

Hemisfério

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

Metade da esfera — exatamente metade de $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . Útil para cúpulas, tigelas e setups de integração.

Elipsoide

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

Três semieixos $a, b, c$ . Com $a = b = c = r$ você recupera a esfera $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ : a esfera é um elipsoide especial.

Toro (rosquinha)

$V = 2\pi^2 R r^2$

Raio maior $R$ (centro ao eixo do tubo), raio menor $r$ (tubo). Teorema de Pappus: área $\pi r^2$ varrida em torno de um círculo de comprimento $2\pi R$ .

Volume Formulas