Quadriláteros — fórmulas de área

Quadrado

$A = s^2$

Lado ao quadrado. Um quadrado é um retângulo com lados iguais, então $A = l\cdot w$ vira $s^2$ .

Retângulo

$A = l \cdot w$

Comprimento × largura. Argumento de ladrilhagem: um retângulo de lados inteiros $l\times w$ comporta exatamente $lw$ quadrados unitários.

Paralelogramo

$A = b \cdot h$

Base × altura perpendicular — não o lado inclinado. Corte o triângulo de uma ponta e deslize para a outra: o paralelogramo vira retângulo.

Losango

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Metade do produto das diagonais — elas se bissectam em ângulo reto, dividindo o losango em quatro triângulos retângulos iguais.

Trapézio

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

Média das duas paralelas $a,b$ vezes a altura $h$ . Cole duas cópias em sentidos opostos: vira um paralelogramo de base $a+b$ .

Pipa

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Mesma fórmula do produto das diagonais do losango — a pipa é a forma mais geral em que as diagonais ainda são perpendiculares.

Triângulos — por dados disponíveis

Base e altura

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Metade da base × altura — vale para qualquer triângulo. Duas cópias formam um paralelogramo de base $b$ e altura $h$ .

Fórmula de Heron (três lados)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

Use quando só tem os três lados e nenhuma altura. $s$ é o semiperímetro.

Dois lados e o ângulo entre eles (LAL)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

Trace a altura do terceiro vértice: ela vale $a\sin C$ , recuperando o clássico $\tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}$ .

Triângulo equilátero

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Caso particular de SAS com $a=b$ e $C = 60^{\circ}$ ; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ gera a constante $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

Círculos e formas curvas

Círculo

$A = \pi r^2$

Pi r-quadrado. Sai integrando o perímetro $2\pi r$ enquanto $r$ cresce de 0 — derivação em "anéis de cebola".

Setor circular

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Ângulo $\theta$ em radianos. É a fração $\theta / (2\pi)$ da área total $\pi r^2$ .

Coroa circular (anel)

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Área do círculo externo menos a do interno — o buraco central é subtraído, não medido.

Elipse

$A = \pi a b$

Semieixo maior $a$ vezes semieixo menor $b$ vezes $\pi$ . Com $a = b = r$ você recupera $\pi r^2$ : o círculo é uma elipse de eixos iguais.

Polígonos regulares e coordenadas

Polígono regular (n lados)

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ é o perímetro e $a$ é o apótema (distância do centro ao lado). Decomponha em $n$ triângulos congruentes e a fórmula cai sozinha.

Hexágono regular

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Um hexágono regular é exatamente seis triângulos equiláteros de lado $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

Coordenadas (fórmula do cadarço)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Substitua as coordenadas dos vértices $(x_i, y_i)$ em ordem, fechando o ciclo ( $x_{n+1}=x_1$ ). Vale para qualquer polígono simples — sem precisar triangular.

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