Resolver um sistema de equações significa encontrar valores que satisfaçam todas as equações simultaneamente. Cada uma das três técnicas padrão tem seu ponto forte — saber qual escolher economiza tempo em toda lista de exercícios.

Método 1: Substituição

Melhor quando uma variável já está isolada (ou é fácil de isolar).

Procedimento:

Isole uma variável em uma das equações.
Substitua essa expressão na outra equação.
Resolva a equação de uma variável resultante.
Substitua de volta para encontrar a segunda variável.

Exemplo: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ já está isolada. Substitua na segunda: $3x + (2x + 1) = 11$ , então $5x = 10$ , $x = 2$ .
Substitua de volta: $y = 2(2) + 1 = 5$ .
Solução: $(2, 5)$ .

Método 2: Eliminação (combinação linear)

Melhor quando os coeficientes se alinham para cancelar uma variável ao somar/subtrair.

Procedimento:

Multiplique uma ou ambas as equações por constantes para que os coeficientes de uma variável fiquem opostos (ex.: $+3y$ e $-3y$ ).
Some as equações para eliminar essa variável.
Resolva a equação de uma variável restante.
Substitua de volta.

Exemplo: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ e $-3y$ já são opostos. Some: $6x = 18$ , $x = 3$ .
Substitua de volta: $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$ .
Solução: $(3, 2)$ .

Método 3: Métodos matriciais

Para sistemas maiores (3 ou mais variáveis) ou resolução assistida por computador:

Regra de Cramer: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ , onde $A_i$ é $A$ com a $i$ -ésima coluna substituída pelas constantes. Funciona para qualquer tamanho, mas o cálculo de $\det$ cresce rapidamente.
Eliminação de Gauss: reduza por linhas a matriz aumentada $[A | \vec{b}]$ à forma escalonada e substitua de volta. O método padrão para sistemas grandes.
Matriz inversa: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ . Funciona apenas se $A$ for quadrada e invertível (determinante não nulo).

Para sistemas 2×2 feitos à mão, a substituição ou a eliminação quase sempre vencem. Os métodos matriciais se destacam com 3 ou mais variáveis.

Três possibilidades para o conjunto solução

Todo sistema linear tem exatamente uma destas:

Uma solução única: as retas (ou planos) se cruzam em um ponto.
Sem solução: as equações se contradizem (retas paralelas que não se encontram) — o sistema é impossível.
Infinitas soluções: as equações descrevem a mesma reta/plano — o sistema é indeterminado.

Sinal algébrico:

" $x = 5$ " → única.
" $0 = 7$ " → contradição → sem solução.
" $0 = 0$ " → tautologia → infinitas soluções.

Erros comuns

Erros de sinal ao distribuir durante a substituição. Use parênteses com cuidado.
Esquecer de multiplicar ambos os lados ao escalar na eliminação.
Parar depois de encontrar $x$ . Ambas as variáveis importam; substitua de volta.
Ignorar a impossibilidade. Se você obtiver $0 = 7$ , essa é a resposta ("sem solução"), não um erro de cálculo.

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