Decomposição em frações parciais: o fluxo de trabalho completo

A decomposição em frações parciais é a habilidade algébrica que permite integrar qualquer função racional do planeta. Em vez de brigar com uma fração feia, você a divide em pedaços fáceis de integrar termo a termo. Este guia percorre todos os casos que você encontrará.

A preparação

Uma função racional é $\frac{P(x)}{Q(x)}$, onde $P, Q$ são polinômios. As frações parciais só funcionam quando o grau de $P$ < grau de $Q$. Caso contrário, faça primeiro a divisão longa de polinômios para separar a parte polinomial.

Depois de dividir, fatore $Q(x)$ completamente sobre os reais. Todo fator se encaixa em uma de quatro categorias.

Os quatro casos

Caso 1: fatores lineares distintos

Se $Q(x) = (x - a)(x - b)$, escreva:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Exemplo. Decomponha $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Multiplique tudo: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Substitua $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Substitua $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Portanto $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Caso 2: fator linear repetido

Para $(x - a)^k$, você precisa de um termo para cada potência até $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Caso 3: fator quadrático irredutível

Para cada $x^2 + bx + c$ irredutível, use um numerador com duas incógnitas:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Caso 4: quadrático irredutível repetido

Mesma ideia do caso 2, mas cada potência recebe uma forma $Bx + C$.

Aplicação à integração

Uma vez decomposto, integre termo a termo:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ para $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ se divide em uma parte $\ln$ e uma parte $\arctan$.

Erros comuns

• Esquecer de fazer a divisão longa primeiro quando o grau de $P$ ≥ grau de $Q$.
• Pular os termos repetidos — $(x - 1)^3$ exige três frações separadas.
• Tentar fatorar quadráticas irredutíveis — verifique o discriminante antes de forçar raízes reais.

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Referências relacionadas:

• Calculadora de Fatoração — para separar $Q(x)$
• Calculadora de Polinômios — para a preparação da divisão longa
• Calculadora de Limites — usada em alguns truques de verificação de frações parciais