Multiplicação de matrizes: um guia passo a passo com exemplos resolvidos

A multiplicação de matrizes é a operação que move a álgebra linear, a computação gráfica, o aprendizado de máquina e as simulações de física. No entanto, a maioria dos estudantes a aprende como uma receita mecânica e nunca vê por que ela é definida do jeito que é. Este guia dá a você a receita e a intuição.

A regra de dimensão primeiro

Antes de calcular qualquer coisa, verifique as dimensões. Para multiplicar $A \cdot B$:

• $A$ deve ter forma $m \times n$
• $B$ deve ter forma $n \times p$
• O resultado $AB$ tem forma $m \times p$

As dimensões internas devem coincidir ($n = n$); as dimensões externas se tornam a forma do resultado.

Se você tentar multiplicar uma $3 \times 4$ por uma $5 \times 2$, a operação fica indefinida — nenhuma quantidade de aritmética vai te salvar.

A receita linha-vezes-coluna

O elemento $(i, j)$ de $AB$ é o produto escalar da linha $i$ de $A$ com a coluna $j$ de $B$:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Exemplo resolvido

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

Calcule $AB$:

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

Então $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$.

Por que a multiplicação é definida desta forma?

As matrizes representam transformações lineares entre espaços vetoriais. Se $A$ leva de $\mathbb{R}^n$ para $\mathbb{R}^m$, e $B$ leva de $\mathbb{R}^p$ para $\mathbb{R}^n$, então $AB$ deveria ser a composição dessas transformações. A regra linha-vezes-coluna é precisamente o que produz a composição. A receita não é arbitrária — ela decorre da exigência de que $AB$ codifique "primeiro aplique $B$, depois aplique $A$".

Propriedades (e não-propriedades!)

Propriedade	Vale?
$A(BC) = (AB)C$ associativa	Sim
$A(B + C) = AB + AC$ distributiva	Sim
$AB = BA$ comutativa	Não, em geral
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ ou $B = 0$	Não

A não comutatividade é o maior ajuste mental em relação à aritmética escalar.

Erros comuns

• Somar em vez de multiplicar os produtos linha-coluna (você faz os dois — multiplica par a par e depois soma).
• Inverter a ordem da verificação de dimensão — deve ser $(m \times n)(n \times p)$, não $(n \times m)(n \times p)$.
• Supor comutatividade — $AB$ pode nem estar definido mesmo que $BA$ esteja.

Experimente com o Solucionador de Matrizes com IA

Digite qualquer par de matrizes na Calculadora de Matrizes para ver o trabalho completo linha por linha.

Referências relacionadas:

• Calculadora de Determinantes — combina naturalmente com produtos $2\times 2$
• Calculadora de Inversas — usa $AB = I$ como relação definidora
• Calculadora de Vetores — o produto escalar está sob cada elemento