중점 공식 계산기

중점 공식은 주어진 두 점의 정확히 중간에 있는 점을 찾습니다. 이는 단지 좌표의 평균입니다.

2D 형태 — 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$에 대해:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

3D 형태 — 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$에 대해:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

평균이 작동하는 이유: 중점은 선분을 $1:1$ 비율로 나누고, 선분 위의 임의의 점의 좌표는 끝점의 가중 평균입니다. 같은 가중치(각각 $1/2$)이면 단순 산술 평균이 됩니다.

중점 공식은 좌표 기하에서 끊임없이 나타납니다: 지름으로부터 원의 중심 찾기, 삼각형의 무게중심, 평행사변형, 수직이등분선, '중간' 관련 모든 문제.

단계별

1. 두 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$를 식별합니다.
2. x좌표를 평균합니다: $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
3. y좌표를 평균합니다: $\frac{y_1 + y_2}{2}$.
4. 중점 $(M_x, M_y)$로 결합합니다.

뺄셈도, 제곱도, 제곱근도 없습니다 — 거리 공식보다 훨씬 간단합니다.

역문제: 중점으로부터 끝점 찾기

$M = (M_x, M_y)$가 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$의 중점이면, 어느 끝점이든 풀 수 있습니다.

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

중점을 두 배 하고 알려진 끝점을 뺍니다.

일반화: 분점 공식

선분을 $m : n$ 비율로 나누는 점($1:1$만이 아님)에 대해:

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

중점 공식은 $m = n = 1$인 특수한 경우입니다.

기하학적 응용

• 지름 끝점으로부터 원의 중심: 단지 중점.
• 삼각형의 무게중심: 세 꼭짓점 좌표의 평균(중점을 3점으로 일반화).
• 수직이등분선: 원래 선분에 수직이고 중점을 지나는 직선.
• 평행사변형의 대각선: 두 대각선의 중점이 일치 — 사각형이 평행사변형임을 증명하는 데 유용.

• 더하기 대신 빼기: 중점은 평균합니다 — $\frac{x_2 - x_1}{2}$가 아니라 $\frac{x_1 + x_2}{2}$. 뺄셈은 거리 공식에 속합니다.
• 각 좌표를 나누는 것을 잊는 것: 나눗수 2는 x-합과 y-합에 각각 적용됩니다. 마지막에 한 번 나누는 것이 아닙니다.
• 음수 좌표에서 부호 오류: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$이며 $-2$나 $5$가 아닙니다. 주의해서 더하세요.
• 중점과 기울기 공식 혼용: 중점은 평균하고, 기울기는 뺍니다. 비슷해 보이지만 다른 질문에 답합니다.
• 3D에 대한 갱신을 잊는 것: 문제가 3D이면 z-평균을 포함하세요. 2D이면 가상의 z를 더하지 마세요.