거리 공식 계산기

거리 공식은 좌표 공간에서 두 점 사이의 직선 거리를 계산합니다. 이는 두 점 사이의 수평 및 수직 분리로 형성된 직각삼각형에 적용된 피타고라스 정리의 직접적인 결과입니다.

2D 형태 — 점 $P_1 = (x_1, y_1)$와 $P_2 = (x_2, y_2)$에 대해:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3D 형태 — 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$에 대해:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$차원 형태 (유클리드 거리):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

이는 임의의 차원으로 자연스럽게 일반화되며, 이것이 물리학, 통계학, 머신러닝에서 핵심적인 '거리' 개념인 이유입니다.

단계별

1. 점 $(x_1, y_1)$과 $(x_2, y_2)$에 라벨을 붙입니다. 어느 배정이든 됩니다 — 공식은 대칭적입니다.
2. 차를 계산합니다: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. 제곱합니다: $(\Delta x)^2$와 $(\Delta y)^2$.
4. 합합니다: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. 제곱근을 취합니다: $d = \sqrt{\text{합}}$.
6. 가능하면 근호를 간단히 합니다 (예: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

기하학적 유도

$(x_1, y_1)$에서 $(x_2, y_1)$까지 수평 선분을 그립니다 — 길이 $|x_2 - x_1|$.
$(x_2, y_1)$에서 $(x_2, y_2)$까지 수직 선분을 그립니다 — 길이 $|y_2 - y_1|$.
원래 선분은 이 두 변을 가진 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리에 의해:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

제곱근을 취하면 거리 공식이 됩니다. 제곱이 부호를 없애므로 절댓값은 필요하지 않습니다.

관련 공식

• 중점: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — 좌표의 평균.
• 기울기: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — 거리 공식과 같은 차를 사용.
• 점에서 원점까지의 거리: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ ($(x_1, y_1) = (0, 0)$인 특수한 경우).

맨해튼 / 택시 거리 (비교용)

위 공식은 유클리드 거리임에 유의하세요. 맨해튼 거리 $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$는 격자 위의 이동(대각선 없음)을 측정합니다. 이들은 다른 거리 척도입니다 — 문제가 어느 것을 원하는지 알아두세요.

• 제곱하는 것을 잊는 것: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$입니다. 제곱(그리고 제곱근)이 필수적입니다.
• 부호 오류: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$이므로 뺄셈 순서는 중요하지 않습니다 — 하지만 이는 오직 제곱 때문입니다. 차이가 '보인다'고 제곱을 빼지 마세요.
• 제곱근을 취하는 것을 잊는 것: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$은 $d$가 아니라 $d^2$입니다. 많은 학생이 한 단계 일찍 멈춥니다.
• 근호를 간단히 하지 않는 것: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\sqrt{8}$로 두는 것은 기술적으로 옳지만 보통 시험에서 감점됩니다.
• 2D와 3D 혼용: 문제가 3D이면 $(z_2 - z_1)^2$ 항을 포함하세요. 2D이면 $z$ 항을 만들어내지 마세요.