리만 합

리만 합은 구간을 폭 $\Delta x = (b-a)/n$ 인 $n$ 개의 소구간으로 나누고 $n$ 개의 직사각형 넓이를 더하여 $[a, b]$ 위의 곡선 $y = f(x)$ 아래의 넓이를 근사한다.

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

여기서 $x_i^*$ 는 $i$ 번째 소구간 안의 표본점이다. 흔한 선택:

• 왼쪽 리만 합: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• 오른쪽 리만 합: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• 중점 규칙: 소구간의 중점(더 정확함).

$n \to \infty$ 일 때(직사각형이 임의로 가늘어짐), $f$ 가 적분 가능하면 리만 합은 정적분에 수렴한다.

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

이 적분의 정의는 이산적인 합과 연속적인 넓이를 연결하며, 적분 기호 $\int$ 가 합(sum)의 "늘여진 S"라는 동기를 부여한다. 리만 합은 모든 수치 적분(사다리꼴 규칙, 심프슨 규칙)의 토대이기도 하다.