평균값 정리

**평균값 정리(MVT)**는 미적분의 기초적인 결과이다. $f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이고 $(a, b)$ 에서 미분 가능하면, 다음을 만족하는 점 $c \in (a, b)$ 가 적어도 하나 존재한다.

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

기하학적으로: $c$ 에서의 접선은 $(a, f(a))$ 와 $(b, f(b))$ 를 지나는 할선과 평행하다.

직관(운전 비유): 1시간에 60마일을 가면 평균 속도는 시속 60마일이다. MVT 는 어떤 순간에 순간 속도가 정확히 시속 60마일이었음을 보장한다.

MVT 는 다음을 떠받치는 원동력이다:

• 증가/감소 판정($f' > 0 \implies$ 증가).
• 미적분학의 기본정리 증명.
• 수치 방법에서의 오차 한계(나머지항을 가진 테일러 정리).
• 미분방정식의 유일성 정리.

특수한 경우($f(a) = f(b)$)가 롤의 정리이다: $f'(c) = 0$ 인 $c$ 가 존재한다.