사인 법칙

사인 법칙은 (직각삼각형뿐 아니라) 임의의 삼각형에 대해 성립한다.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

여기서 $a, b, c$ 는 각 $A, B, C$ 의 대변의 길이이고, $R$ 은 외접원의 반지름이다.

활용 사례:

1. AAS 또는 ASA: 두 각과 한 변이 주어졌을 때 나머지 변을 구한다.
2. SSA(모호한 경우): 두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어졌을 때. 유효한 삼각형이 0개, 1개, 2개일 수 있으므로 항상 확인한다.

코사인 법칙 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 는 SSS 와 SAS 경우에 대응하는 짝이 되는 정리이다. 둘을 합치면 임의의 삼각형을 완전히 풀 수 있다. 독립적인 세 가지 정보가 주어지면 여섯 개(변 3개 + 각 3개)를 모두 구할 수 있다.

증명: 한 꼭짓점에서 수선을 내린다. 그 길이는 한 방향으로 재면 $b \sin A$, 다른 방향으로 재면 $a \sin B$ 이다. 이를 같다고 두면 $a/\sin A = b/\sin B$ 를 얻는다.