코사인 법칙

코사인 법칙은 피타고라스 정리를 임의의 삼각형으로 일반화한다:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

여기서 $c$ 는 각 $C$ 의 대변이고, $a, b$ 는 다른 두 변이다. 대칭적으로: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

특수한 경우: $C = 90°$ 일 때 $\cos 90° = 0$ 이 되어 식은 $c^2 = a^2 + b^2$ — 피타고라스 정리 — 로 축약된다.

활용 사례:

• SSS: 세 변이 주어졌을 때 한 각을 구한다: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• SAS: 두 변과 그 사이 끼인각이 주어졌을 때, 세 번째 변을 직접 구한다.

사인 법칙 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ 와 짝을 이룬다. 둘을 함께 쓰면 삼각형을 푸는 네 가지 경우(SSS, SAS, ASA, AAS)를 모두 다룰 수 있다 — 오직 SSA(모호한 경우)만 추가적인 주의가 필요하다.

코사인 법칙은 벡터 해석에서 내적의 기하학적 기원이기도 하다: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.