이상적분

이상적분은 다음 중 적어도 하나를 가진다.

1. 무한 한계: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 또는 $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$.
2. $[a, b]$ 의 어딘가에서 유계가 아닌 피적분함수(수직 점근선).

두 경우 모두 정상 적분의 극한으로 평가한다.

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

유한하면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다.

유명한 예:

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗(더 느린 감소는 발산한다)
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — 가우스 적분.

수렴 판정법(비교 판정법, p 판정법)으로 애초에 적분할 가치가 있는지를 판단한다. 이상적분은 확률론(확률밀도함수의 정규화), 푸리에 변환, 물리학에 나타난다.