음함수 미분법

음함수 미분법은 $y$ 가 방정식에 의해 음으로 정의되어 있을 때, 먼저 $y$ 를 명시적으로 풀지 않고 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하는 기법이다. $y$ 에 대해 푸는 것이 어렵거나 불가능할 때 특히 유용하다.

절차: 방정식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하되, $y$ 를 $x$ 의 함수로 취급한다(따라서 각 $y$ 항에는 연쇄법칙에 의해 $\frac{dy}{dx}$ 가 붙는다). 그런 다음 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 푼다.

예: $x^2 + y^2 = 25$(원)에 대해:

1. 양변을 미분: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$.
2. 풀이: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

이로써 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ 없이도 원 위의 임의의 점에서의 기울기를 얻는다.

음함수 미분법은 다음을 위한 표준 도구이다:

• 함수의 그래프가 아닌 곡선의 접선.
• 관련 변화율 문제(원뿔에 물 채우기, 벽을 미끄러져 내려오는 사다리).
• 역함수 미분($\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 의 유도에 사용된다).
• 미분방정식과 어떤 양이 일정한 곡선(등위 곡선)을 푸는 것.