발산(벡터 미적분)

발산은 $\mathbb{R}^3$ 위의 벡터장 $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)$ 에 대한 스칼라 연산이다.

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

물리적 의미: $(\nabla \cdot \vec{F})(p)$ 는 점 $p$ 에서 단위 부피당 $\vec{F}$ 의 순 유출률을 측정한다.

• $> 0$: 순 샘(유체가 퍼져 나감, 양의 전하 밀도).
• $< 0$: 흡입.
• $= 0$: 비압축 장(압축 없이 흐르는 물).

발산 정리(가우스 정리)는 어떤 영역에서의 발산을 그 경계를 통과하는 선속과 연결한다 — 벡터 미적분의 4대 정리 중 하나이다. 유체역학, 전자기학(맥스웰 방정식), 양자역학에서의 확률 흐름의 기초가 된다.