수렴

수렴은 수열이나 급수가 유한한 극한에 가까워지는 경우를 가리킨다.

수열: 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 어떤 $N$ 이 존재하여 $n > N$ 인 모든 $n$ 에서 $|a_n - L| < \varepsilon$ 이면, $\{a_n\}$ 은 $L$ 에 수렴한다.

급수: 부분합 $S_n$ 이 수렴하면 $\sum a_n$ 은 수렴한다.

표준 판정법:

• 제 n 항 판정법: $a_n \not\to 0$ → 발산.
• 등비급수: $\sum r^n$ 은 $|r| < 1$ 일 때, 그리고 그때에만 수렴한다.
• 비교 판정법: 알려진 급수로 위에서 누른다.
• 비 판정법: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → 수렴.
• 적분 판정법: $\sum a_n$ 을 $\int_1^\infty f(x) dx$ 와 연결한다.
• 교대급수 판정법: $b_n$ 이 단조롭게 $0$ 에 가까워지면 $\sum (-1)^n b_n$ 은 수렴한다.

절대수렴($\sum |a_n|$ 이 수렴)은 조건수렴보다 강하다. 조화급수 $\sum 1/n$ 은 발산하지만 $\sum (-1)^n/n$ 은 수렴한다(교대).