함수 $f$ 가 $x = a$ 에서 연속이라는 것은 다음 세 조건이 성립하는 것이다:

$f(a)$ 가 정의되어 있고,
$\lim_{x \to a} f(x)$ 가 존재하며,
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

직관적으로: 펜을 떼지 않고 그 점을 지나는 그래프를 그릴 수 있다는 뜻이다. 흔한 불연속에는 제거 가능(구멍), 도약(좌극한과 우극한이 다름), 무한(수직 점근선)이 있다.

연속성은 대부분의 미적분 정리의 기본 진입 조건이다. 중간값 정리는 연속함수가 임의의 두 출력값 사이의 모든 값을 취한다고 말한다. 최대·최소 정리는 닫힌구간 위의 연속함수가 최댓값과 최솟값을 가짐을 보장한다. 미분 가능성은 연속성을 요구하지만, 연속성이 미분 가능성을 의미하지는 않는다 — $|x|$ 는 모든 곳에서 연속이지만 $0$ 에서는 미분할 수 없다.

연속성

함수가 어떤 점에서 연속이라는 것은, 그 점에서의 값이 입력이 그 점에 가까워질 때의 값의 극한과 같다는 뜻이다 — 도약, 구멍, 점근선이 없는 상태이다.