유리수 vs 무리수

유리수와 무리수는 실수의 두 절반이며, 모든 실수는 정확히 그중 하나입니다.

유리수

실수가 $\frac{p}{q}$($p, q$는 정수이고 $q \neq 0$)로 표현될 수 있으면 그 수는 유리수입니다.

소수에 의한 특징: 유리수의 소수는 유한하게 끝나거나($0.25 = \frac{1}{4}$) 결국 순환합니다($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$).

유리수의 집합은 $\mathbb{Q}$로 표시합니다. 조밀함에도 불구하고(임의의 두 유리수 사이에 또 다른 유리수가 존재함), 유리수는 가산이며 $\mathbb{N}$과 같은 농도를 가집니다.

무리수

정수의 비로 표현할 수 없습니다. 소수는 비순환이며 끝나지 않습니다.

유명한 무리수:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$(황금비) $= (1 + \sqrt{5})/2$.

무리수의 집합은 비가산이며, 유리수가 조밀하더라도 유리수보다 엄밀하게 더 큽니다.

왜 중요한가

• $\sqrt{2}$가 무리수라는 것은 유명한 피타고라스 학파의 발견이었습니다(전설: 히파소스는 그것을 폭로한 죄로 익사당했다고 함).
• $\pi$가 무리수라는 것은 그것을 결코 분수로 쓸 수 없음을 의미합니다.
• $1/7 = 0.\overline{142857}$의 소수 — 순환의 주기는 최대 $q - 1$입니다.

판정 방법

수가 하나 있으면 다음을 물어보세요:

• 소수가 유한하게 끝남 → 유리수.
• 소수가 명확한 주기로 순환함 → 유리수.
• 소수가 순환 없이 계속됨(예: $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → 무리수.

대수적 판정은 닫힘성을 이용합니다: 유리수는 $+, -, \times, /$(0 제외)에 대해 닫혀 있습니다. 두 무리수의 합은 유리수가 될 수 있습니다(예: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$).