정비례 vs 반비례

정비례와 반비례는 변수 사이의 가장 단순하고 자명하지 않은 두 가지 관계이며, 더 복잡한 모델을 이해하기 위한 토대입니다.

정비례: y = kx

어떤 0이 아닌 상수 $k$(비례 상수 또는 비례 정수)에 대해 $y = k x$이면 두 양은 정비례합니다.

• $x$가 두 배가 되면 $y$도 두 배가 됩니다.
• $x$가 절반이 되면 $y$도 절반이 됩니다.
• 그래프는 원점을 지나며 기울기가 $k$입니다.

예: 일정한 속력에서 거리 대 시간($d = v t$), 후크의 법칙($F = k x$), 단순 급여($\text{급여} = \text{단가} \cdot \text{시간}$).

반비례: y = k/x

$y = k/x$이면 두 양은 반비례합니다.

• $x$가 두 배가 되면 $y$는 절반이 됩니다.
• $x \to \infty$이면 $y \to 0$.
• 그래프는 쌍곡선이며 좌표축과 결코 만나지 않습니다.

예: 보일의 법칙(일정 온도에서 압력 × 부피 = 상수), 일정한 일에 대한 시간($t = \text{거리} / v$), 옴의 법칙의 변형들.

데이터로부터 어느 것인지 판별하는 방법

$y$를 $x$에 대해 그립니다. 점들이 원점을 지나는 직선 위에 있으면 정비례입니다. 0으로 감쇠하는 쌍곡선 위에 있으면 반비례입니다. 또는 $\frac{y}{x}$가 일정한지(정비례) 대 $xy$가 일정한지(반비례)를 확인합니다.

결합 비례와 동시 비례

• 동시 비례: $y = kxz$(두 개의 정비례 변수).
• 결합 비례: $y = kx/z$(하나는 정비례, 하나는 반비례). 예: 만유인력 $F = G m_1 m_2 / r^2$ — 질량에 대해 정비례, 거리에 대해 역제곱.

결론

"하나가 증가할 때 다른 하나는 증가하는가 감소하는가, 그리고 어떤 비율로?"라는 질문으로 판별합니다. 정비례 → 둘이 함께 움직임; 반비례 → 역수 비율로 반대 방향.