각기둥 & 상자

정육면체

$V = s^3$

한 변의 세제곱. 한 변 $s$ 인 정육면체는 단위 정육면체 $s^3$ 개로 채워집니다 — 단위 정사각형 논증의 3차원 버전.

직육면체 (상자)

$V = l \cdot w \cdot h$

가로 × 세로 × 높이. 밑넓이 $l w$ 를 $h$ 겹 쌓으면 $lwh$ .

일반 각기둥

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

밑넓이 × 높이. 카발리에리 원리에 의해 단면과 높이가 같은 기둥은 부피가 같음 — 삼각기둥, 육각기둥, 빗각기둥 모두 이 공식 하나.

뿔, 원뿔, 절단체

각뿔 (일반)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

같은 밑면·높이 각기둥 부피의 1/3. "1/3"은 $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ 를 0부터 $h$ 까지 적분하면 나옵니다 — 단면이 선형으로 줄어들기 때문.

원뿔

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

각뿔과 같은 "1/3" 규칙, 밑면 $\pi r^2$ . 같은 밑면·높이의 원뿔 3개가 원기둥 하나를 정확히 채웁니다.

원뿔대

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

두 평행 원, 반지름 $R$ (아래)· $r$ (위), 높이 $h$ . 큰 원뿔에서 작은 원뿔을 빼면 유도되고 $Rr$ 항은 세제곱 차에서 나옵니다.

원기둥

$V = \pi r^2 h$

일반 각기둥의 특수 사례: 원형 밑면 $\pi r^2$ 를 높이 $h$ 로 쌓음. 카발리에리 원리에 의해 빗원기둥도 같은 공식.

속이 빈 원기둥 (관)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

바깥 원기둥에서 안쪽 원기둥을 뺍니다 — 원환의 뺄셈 트릭을 3차원으로 확장.

구 & 타원체

구

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

유명한 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . 아르키메데스 결론: 구의 부피는 외접 최소 원기둥의 정확히 $\tfrac{2}{3}$ .

반구

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

구의 절반 — $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 의 정확히 절반. 돔, 그릇, 적분 문제에 유용.

타원체

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

세 반지름 $a, b, c$ . $a = b = c = r$ 이면 구 $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ 로 환원 — 구는 타원체의 특수 사례.

원환체 (도넛)

$V = 2\pi^2 R r^2$

큰 반지름 $R$ (중심에서 관 중심까지), 작은 반지름 $r$ (관). 파푸스 정리: 면적 $\pi r^2$ 가 둘레 $2\pi R$ 인 원 둘레로 스윕.

부피 Formulas