사각형 — 넓이 공식

정사각형

$A = s^2$

한 변의 제곱. 정사각형은 가로·세로가 같은 직사각형이므로 $A = l\cdot w$ 가 $s^2$ 로 줄어듭니다.

직사각형

$A = l \cdot w$

가로 × 세로. 단위 정사각형 채우기 논증: 정수 변 $l\times w$ 인 직사각형에는 정확히 $lw$ 개의 단위 정사각형이 들어갑니다.

평행사변형

$A = b \cdot h$

밑변 × 수직 높이 — 기울어진 변이 아닙니다. 한쪽 끝의 삼각형을 잘라 반대쪽으로 옮기면 평행사변형이 직사각형으로 변합니다.

마름모

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

두 대각선 곱의 절반. 대각선이 서로 직각으로 이등분하며 마름모를 합동인 직각삼각형 4개로 나눕니다.

사다리꼴

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

두 평행변 $a,b$ 의 평균에 높이 $h$ 를 곱합니다. 두 개를 머리-꼬리로 붙이면 밑변 $a+b$ 인 평행사변형이 됩니다.

연꼴

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

마름모와 같은 대각선 곱 공식 — 연꼴은 대각선이 여전히 수직인 더 일반적인 도형입니다.

삼각형 — 주어진 정보별

밑변과 높이

$A = \tfrac{1}{2} b h$

밑변 × 높이 ÷ 2 — 모든 삼각형에 성립. 두 개를 합치면 밑변 $b$ , 높이 $h$ 의 평행사변형이 됩니다.

헤론 공식 (세 변)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

세 변의 길이만 알고 높이가 주어지지 않을 때 사용. $s$ 는 반둘레.

두 변과 사잇각 (SAS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

제3 꼭짓점에서 수선을 내리면 길이가 $a\sin C$ 이므로 표준 $\tfrac{1}{2}\cdot\text{밑변}\cdot\text{높이}$ 로 환원됩니다.

정삼각형

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

$a=b$ , $C = 60^{\circ}$ 일 때의 SAS 특수 사례. $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 에서 상수 $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ 가 나옵니다.

원과 곡선 도형

원

$A = \pi r^2$

파이 곱하기 r 제곱. 반지름이 0에서 $r$ 까지 자라는 동안 원주 $2\pi r$ 를 적분하면 나옵니다 (양파링 유도).

부채꼴

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

$\theta$ 는 라디안. 전체 원 넓이 $\pi r^2$ 의 $\theta / (2\pi)$ 비율입니다.

원환 (고리)

$A = \pi (R^2 - r^2)$

바깥 원의 넓이에서 안쪽 원의 넓이를 뺍니다 — 가운데 빈 공간을 뺄셈으로 처리.

타원

$A = \pi a b$

긴 반지름 $a$ , 짧은 반지름 $b$ , $\pi$ 의 곱. $a = b = r$ 이면 $\pi r^2$ 로 환원 — 원은 두 반지름이 같은 타원.

정다각형 & 좌표

정 n각형

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ 는 둘레, $a$ 는 중심에서 변까지의 거리(아포뎀). 다각형을 합동 삼각형 $n$ 개로 쪼개면 도출됩니다.

정육각형

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

정육각형은 한 변이 $a$ 인 정삼각형 6개로 이루어지므로 $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

좌표 (신발끈 공식)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

꼭짓점 좌표 $(x_i, y_i)$ 를 순서대로 대입하고 마지막에서 처음으로 돌립니다 ( $x_{n+1}=x_1$ ). 임의의 단순 다각형에 적용 — 삼각분할 불필요.

넓이 Formulas