행렬 곱셈은 선형대수, 컴퓨터 그래픽스, 머신러닝, 물리 시뮬레이션을 움직이는 연산입니다. 그런데도 대부분의 학생은 그것을 기계적인 공식으로 배우고 왜 그렇게 정의되는지는 결코 보지 못합니다. 이 가이드는 공식 그리고 직관을 모두 제공합니다.

차원 규칙이 먼저

무엇이든 계산하기 전에 차원을 확인하세요. $A \cdot B$ 를 곱하려면:

$A$ 는 $m \times n$ 형태여야 합니다
$B$ 는 $n \times p$ 형태여야 합니다
결과 $AB$ 는 $m \times p$ 형태가 됩니다

안쪽 차원이 일치해야 합니다( $n = n$ ). 바깥쪽 차원이 결과 형태가 됩니다.

만약 $3 \times 4$ 를 $5 \times 2$ 로 곱하려고 하면, 그 연산은 정의되지 않습니다 — 어떤 산술로도 구제할 수 없습니다.

행 곱하기 열 공식

$AB$ 의 $(i, j)$ 원소는 $A$ 의 $i$ 행과 $B$ 의 $j$ 열의 내적입니다:

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

예제

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$AB$ 를 계산합니다:

$(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
$(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
$(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
$(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

따라서 $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ 입니다.

곱셈은 왜 이렇게 정의될까?

행렬은 벡터 공간 사이의 선형 사상을 나타냅니다. $A$ 가 $\mathbb{R}^n$ 에서 $\mathbb{R}^m$ 으로 사상하고, $B$ 가 $\mathbb{R}^p$ 에서 $\mathbb{R}^n$ 으로 사상한다면, $AB$ 는 그 사상들의 합성이어야 합니다. 행 곱하기 열 규칙은 바로 이 합성을 만들어 내는 것입니다. 이 공식은 임의적이지 않습니다 — "먼저 $B$ 를 적용하고, 그다음 $A$ 를 적용한다"를 $AB$ 가 부호화해야 한다는 요구에서 따라 나옵니다.

성질 (그리고 비성질!)

성질	성립?
$A(BC) = (AB)C$ 결합법칙	예
$A(B + C) = AB + AC$ 분배법칙	예
$AB = BA$ 교환법칙	일반적으로 아니오
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ 또는 $B = 0$	아니오

비교환성은 스칼라 산술에서 가장 크게 사고를 전환해야 하는 부분입니다.

흔한 실수

행-열 곱을 곱하지 않고 더해 버리는 것(둘 다 합니다 — 쌍별로 곱한 다음 더함).
차원 확인 순서를 뒤바꾸는 것 — $(m \times n)(n \times p)$ 여야 하며, $(n \times m)(n \times p)$ 가 아닙니다.
교환성을 가정하는 것 — $BA$ 가 정의되어도 $AB$ 는 정의되지 않을 수조차 있습니다.

AI 행렬 솔버로 시도해 보기

행렬 계산기에 임의의 행렬 쌍을 입력하면 행별 풀이가 전부 표시됩니다.

Matrix Multiplication: A Step-by-Step Guide With Worked Examples

How matrix multiplication actually works — dimension rules, the row-times-column recipe, common mistakes, and the link to linear maps.