ブール式 M = W'XY' + WXY' + XY'Z を簡単にせよ。ここでアポストロフィは否定を表す。

Step-by-step solution

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   すべての項が共有する積を探す。 項ごとにリテラルを並べると $\{\overline{W},X,\overline{Y}\}$、$\{W,X,\overline{Y}\}$、$\{X,\overline{Y},Z\}$ である。組 $X\overline{Y}$ が 3 つすべてに現れるので、カルノー図を作るまでもなく分配法則でくくり出せる。$M=X\overline{Y}\left(\overline{W}+W+Z\right).$

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   括弧の中に補元則を適用する。 どの変数についても $\overline{W}+W=1$ である。変数とその否定のうち少なくとも一方は必ず真だからである。代入すると $M=X\overline{Y}\left(1+Z\right).$ となる。

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   吸収の法則を適用する。 ブール代数では何かを $1$ と OR すれば $1$ になる。$1+Z=1.$ ここがブール代数と通常の算術とが袂を分かつところである。繰り上がりは存在せず、$1$ がすべてを飲み込む。

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   簡単化を仕上げる。 $M=X\overline{Y}\cdot 1=X\overline{Y}.$ 3 リテラルの最小項 3 つが 2 リテラルの積項 1 つにまとまるので、回路は AND ゲート 3 つと OR ゲート 1 つではなく、インバータ 1 つと AND ゲート 1 つで済む。

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   真理値表で検証する。 $M$ は $X=1$ かつ $Y=0$ のときちょうど $1$ になるはずで、$W$ と $Z$ の値によらない。もとの式で確かめると、$X=1,Y=0$ のとき 3 つの項はそれぞれ $\overline{W}$、$W$、$Z$ であり、$\overline{W}+W+Z=1$ が常に成り立つ。$X=0$ ならどの項にも因子 $X=0$ が含まれるので $M=0$、$Y=1$ ならどの項にも $\overline{Y}=0$ が含まれるのでやはり $M=0$ である。$(W,X,Y,Z)$ の 16 行すべてが $X\overline{Y}$ と一致する。