有理数 vs 無理数

有理数と無理数は実数の二つの半分であり、どの実数もちょうどそのどちらか一方です。

有理数

実数が$\frac{p}{q}$（ここで$p, q$は整数で$q \neq 0$）と表せるとき、その数は有理数です。

小数による特徴づけ：有理数の小数は、有限で終わる（$0.25 = \frac{1}{4}$）か、最終的に循環します（$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$、$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$）。

有理数の集合は$\mathbb{Q}$で表されます。稠密である（任意の二つの有理数の間にさらに別の有理数がある）にもかかわらず、有理数は可算であり、$\mathbb{N}$と同じ濃度を持ちます。

無理数

整数の比として表すことができません。小数は非循環かつ非有限です。

有名な無理数：

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$（黄金比）$= (1 + \sqrt{5})/2$。

無理数の集合は非可算であり、有理数が稠密であっても、有理数より厳密に大きい集合です。

なぜ重要か

• $\sqrt{2}$が無理数であることは有名なピタゴラス学派の発見でした（伝説では、ヒッパソスはそれを暴露したために溺死させられたとされます）。
• $\pi$が無理数であることは、それを決して分数として書けないことを意味します。
• $1/7 = 0.\overline{142857}$の小数 — 循環の周期は最大でも$q - 1$です。

判定方法

ある数があるとき、次を問います：

• 小数が有限で終わる → 有理数。
• 小数が明確な周期で循環する → 有理数。
• 小数が循環せず続く（例：$\pi$、$e$、$\sqrt{2}$）→ 無理数。

代数的な判定は閉性を用います：有理数は$+, -, \times, /$（0を除く）について閉じています。二つの無理数の和は有理数になり得ます（例：$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$）。