正比例 vs 反比例

正比例 と 反比例 は、変数間の最も単純で非自明な 2 つの関係であり、より複雑なモデルを理解するための基礎です。

正比例: y = kx

ある非零の定数 $k$（比例定数）について $y = k x$ が成り立つとき、2 つの量は 正比例 します。

• $x$ が 2 倍になると、$y$ も 2 倍になる。
• $x$ が半分になると、$y$ も半分になる。
• グラフは原点を通り、傾きは $k$。

例: 一定速度での距離と時間（$d = v t$）、フックの法則（$F = k x$）、単純な給与（$\text{給与} = \text{単価} \cdot \text{時間}$）。

反比例: y = k/x

$y = k/x$ のとき、2 つの量は 反比例 します。

• $x$ が 2 倍になると、$y$ は半分になる。
• $x \to \infty$ のとき、$y \to 0$。
• グラフは双曲線で、座標軸とは決して交わらない。

例: ボイルの法則（一定温度で 圧力 × 体積 = 一定）、一定の仕事に対する時間（$t = \text{距離} / v$）、オームの法則の各種形。

データからどちらか見分ける方法

$y$ を $x$ に対してプロットします。点が原点を通る直線上にあれば正比例。点がゼロへ減衰する双曲線上にあれば反比例。あるいは $\frac{y}{x}$ が一定（正比例）か $xy$ が一定（反比例）かを調べます。

複合変化と連立変化

• 連立変化: $y = kxz$（2 つの正比例変数）。
• 複合: $y = kx/z$（一方は正比例、一方は反比例）。例: 万有引力 $F = G m_1 m_2 / r^2$ — 質量に対して正比例、距離に対して逆 2 乗。

結論

「一方が増えると、もう一方は増えるか減るか、そしてどのような比で変わるか」という問いで見分けます。正比例 → 両者は一緒に動く。反比例 → 逆方向で逆数の比。