行列の掛け算は、線形代数、コンピューターグラフィックス、機械学習、物理シミュレーションを動かす演算です。それなのに、ほとんどの学生はそれを機械的なレシピとして学び、なぜそのように定義されているのかを目にすることがありません。このガイドはレシピと直感の両方を与えます。

まずは次元のルール

何かを計算する前に、次元を確認しましょう。 $A \cdot B$ を掛けるには：

$A$ は形 $m \times n$ でなければならない
$B$ は形 $n \times p$ でなければならない
結果 $AB$ は形 $m \times p$ になる

内側の次元が一致しなければなりません（ $n = n$ ）。外側の次元が結果の形になります。

もし $3 \times 4$ と $5 \times 2$ を掛けようとすると、その演算は定義されません——どんな計算をしても救いようがありません。

行かける列のレシピ

$AB$ の $(i, j)$ 成分は、 $A$ の第 $i$ 行と $B$ の第 $j$ 列の内積です：

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

例題

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$AB$ を計算します：

$(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
$(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
$(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
$(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

よって $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$ です。

なぜ掛け算はこのように定義されるのか？

行列はベクトル空間の間の線形写像を表します。 $A$ が $\mathbb{R}^n$ から $\mathbb{R}^m$ へ写し、 $B$ が $\mathbb{R}^p$ から $\mathbb{R}^n$ へ写すなら、 $AB$ はそれらの写像の合成であるべきです。行かける列のルールは、まさにこの合成を生み出すものです。このレシピは恣意的ではありません——「まず $B$ を適用し、次に $A$ を適用する」を $AB$ が符号化するという要請から導かれます。

性質（そして非性質！）

性質	成り立つ？
$A(BC) = (AB)C$ 結合律	はい
$A(B + C) = AB + AC$ 分配律	はい
$AB = BA$ 交換律	一般には、いいえ
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ または $B = 0$	いいえ

非可換性は、スカラーの算術からの最大の頭の切り替えどころです。

よくある間違い

行・列の積を掛けるのではなく足してしまう（両方やります——対ごとに掛けてから足す）。
次元チェックの順序を入れ替える—— $(m \times n)(n \times p)$ でなければならず、 $(n \times m)(n \times p)$ ではありません。
可換性を仮定する—— $BA$ が定義できても $AB$ は定義できないことすらあります。

AI 行列ソルバーで試そう

行列計算機に任意の行列の組を入力すると、行ごとの計算がすべて表示されます。

行列の掛け算：例題で学ぶステップバイステップガイド

行列の掛け算が実際にどう動くのか——次元のルール、行かける列のレシピ、よくある間違い、そして線形写像とのつながり。