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geometry

Vettore

Un vettore è una grandezza dotata sia di modulo sia di direzione. Notazione: ⟨x, y⟩ o ⟨x, y, z⟩. I vettori si sommano componente per componente e sono alla base di fisica, grafica e machine learning.

Un vettore possiede sia un modulo sia una direzione, a differenza di uno scalare che ha solo un modulo.

Coordinate: v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle (2D) oppure ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle (3D). Modulo ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}.

Operazioni:

  • Addizione / sottrazione: componente per componente.
  • Moltiplicazione per uno scalare: scala il modulo.
  • Prodotto scalare: u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta — misura l'allineamento e restituisce uno scalare.
  • Prodotto vettoriale (solo in 3D): u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} — perpendicolare a entrambi, di modulo ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta.

I vettori descrivono la fisica (forza, velocità), la grafica (posizioni, normali), il machine learning (vettori di caratteristiche, gradienti, embedding) e la geometria. La loro generalizzazione a dimensioni superiori e a spazi astratti (spazi di Hilbert) è il fondamento di gran parte della matematica moderna.