Somma di Riemann

Una somma di Riemann approssima l'area sotto una curva $y = f(x)$ su $[a, b]$ dividendo l'intervallo in $n$ sottointervalli di ampiezza $\Delta x = (b-a)/n$ e sommando le aree di $n$ rettangoli:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

dove $x_i^*$ è un punto campione nell'$i$-esimo sottointervallo. Scelte comuni:

• Somma di Riemann sinistra: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$.
• Somma di Riemann destra: $x_i^* = a + i \Delta x$.
• Regola del punto medio: punto medio del sottointervallo (più accurata).

Quando $n \to \infty$ (i rettangoli diventano arbitrariamente sottili), se $f$ è integrabile, la somma di Riemann converge all'integrale definito:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Questa definizione dell'integrale lega la sommatoria discreta all'area continua, motivando la notazione integrale $\int$ come una "S allungata" per somma. Le somme di Riemann sono inoltre alla base di ogni integrazione numerica (regola dei trapezi, regola di Simpson).