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calculus

Derivata parziale

Una derivata parziale misura come una funzione di più variabili varia quando cambia solo una variabile, tenendo costanti le altre. Notazione: ∂f/∂x.

Per una funzione di più variabili f(x,y,z,…)f(x, y, z, \ldots), la derivata parziale rispetto a xx è

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y,…)−f(x,y,…)h,\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},

trattando tutte le altre variabili come costanti. Notazione: ∂\partial (la "d" arrotondata, letta "del") la distingue dalle derivate totali.

Esempio: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y. Allora ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (trattando yy come costante) e ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3.

Le derivate parziali sono i mattoni del calcolo in più variabili. Il gradiente ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,…)\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots) punta nella direzione di massima crescita — il fondamento della discesa del gradiente nel machine learning. Le equazioni differenziali alle derivate parziali modellano calore, onde, fluidi, elettromagnetismo e meccanica quantistica.