Ottimizzazione (analisi matematica)

L'ottimizzazione è la pratica di trovare i valori massimi o minimi di una funzione. Procedimento standard:

1. Imposta la funzione $f(x)$ da massimizzare/minimizzare a partire dal testo del problema.
2. Deriva per ottenere $f'(x)$.
3. Trova i punti critici: risolvi $f'(x) = 0$ (e individua dove $f'$ non esiste).
4. Classifica ciascuno: criterio della derivata seconda ($f''(c) > 0$ → minimo; $< 0$ → massimo), oppure cambio di segno della derivata prima.
5. Confronta con gli estremi se il dominio è un intervallo chiuso (Teorema di Weierstrass).

Problemi classici: il rettangolo più grande inscritto in una circonferenza, il barattolo cilindrico più economico che contiene un volume fissato, la scatola di volume massimo ottenuta da un foglio quadrato.

L'ottimizzazione in più variabili usa il gradiente ($\nabla f = \vec{0}$) e la matrice hessiana. L'ottimizzazione vincolata usa i moltiplicatori di Lagrange. La tecnica è alla base della progettazione ingegneristica, dell'economia e dell'addestramento dei modelli di apprendimento automatico.