Distribuzione normale

La distribuzione normale (o gaussiana) è l'iconica distribuzione di probabilità continua a forma di campana. La sua densità:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

è completamente determinata da due parametri: la media $\mu$ (posizione) e la deviazione standard $\sigma$ (dispersione).

Proprietà principali:

• Simmetrica rispetto a $\mu$.
• Regola 68-95-99,7: $\approx 68\%$ dei valori entro $1\sigma$, $95\%$ entro $2\sigma$, $99{,}7\%$ entro $3\sigma$.
• La normale standard $N(0, 1)$ è il riferimento canonico; qualsiasi normale può essere standardizzata tramite $z = (x - \mu)/\sigma$.

La normale compare ovunque grazie al teorema del limite centrale: la somma di molte variabili aleatorie indipendenti tende alla normale indipendentemente dalle loro distribuzioni individuali. Ciò la rende il modello predefinito per gli errori di misura, il QI, l'altezza, i punteggi degli esami, e il fondamento degli intervalli di confidenza, dei test di ipotesi e dei processi gaussiani.