Teorema del valore medio

Il teorema del valore medio (TVM) è un risultato fondamentale del calcolo. Se $f$ è continua su $[a, b]$ e derivabile su $(a, b)$, allora esiste almeno un punto $c \in (a, b)$ tale che

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Geometricamente: la retta tangente in $c$ è parallela alla retta secante passante per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.

Intuizione (analogia con la guida): se percorri 60 miglia in 1 ora, la tua velocità media è 60 mph; il TVM garantisce che in qualche istante la tua velocità istantanea è stata esattamente 60 mph.

Il TVM è il motore alla base di:

• il criterio di crescenza/decrescenza ($f' > 0 \implies$ crescente).
• la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo.
• le stime dell'errore nei metodi numerici (teorema di Taylor con resto).
• i teoremi di unicità per le equazioni differenziali.

Un caso particolare ($f(a) = f(b)$) è il teorema di Rolle: esiste un $c$ in cui $f'(c) = 0$.