Teorema del coseno

Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora a qualsiasi triangolo:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

dove $c$ è il lato opposto all'angolo $C$, e $a, b$ sono gli altri due lati. Simmetricamente: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

Caso speciale: quando $C = 90°$, $\cos 90° = 0$, e la formula si riduce a $c^2 = a^2 + b^2$ — il teorema di Pitagora.

Casi d'uso:

• LLL: dati i tre lati, trovare un angolo: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• LAL: dati due lati e l'angolo compreso, trovare direttamente il terzo lato.

Complementare al teorema dei seni $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Insieme gestiscono tutti e quattro i casi di risoluzione dei triangoli (LLL, LAL, ALA, AAL) — solo il LLA (il caso ambiguo) richiede attenzione aggiuntiva.

Il teorema del coseno è anche l'origine geometrica del prodotto scalare nell'analisi vettoriale: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.