Un integrale improprio ha almeno una delle seguenti caratteristiche:

Estremo infinito: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ o $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$ .
Integrando illimitato in qualche punto di $[a, b]$ (asintoto verticale).

Entrambi si valutano come limiti di integrali propri:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Se il limite è finito, l'integrale converge; altrimenti diverge.

Esempi celebri:

$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
$\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (un decadimento più lento diverge)
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — integrale di Gauss.

I criteri di convergenza (confronto, criterio p) decidono se valga la pena integrare. Gli integrali impropri compaiono in probabilità (normalizzazione della densità di probabilità), nelle trasformate di Fourier e in fisica.

Integrale improprio

Un integrale improprio ha un estremo di integrazione infinito oppure un integrando illimitato in qualche punto dell'intervallo. Si valuta come limite di integrali propri.