La derivazione implicita trova $\frac{dy}{dx}$ quando $y$ è definita implicitamente da un'equazione, senza prima risolvere esplicitamente per $y$ . È particolarmente utile quando risolvere per $y$ è difficile o impossibile.

Procedimento: derivare entrambi i membri dell'equazione rispetto a $x$ , trattando $y$ come funzione di $x$ (così ogni termine in $y$ ottiene un $\frac{dy}{dx}$ tramite la regola della catena), poi risolvere per $\frac{dy}{dx}$ .

Esempio: per $x^2 + y^2 = 25$ (una circonferenza):

Deriviamo entrambi i membri: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ .
Risolviamo: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Ciò fornisce la pendenza in qualunque punto della circonferenza senza bisogno di $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ .

La derivazione implicita è lo strumento standard per:

Rette tangenti a curve che non sono grafici di funzioni.
Problemi di tassi correlati (acqua che riempie un cono, scala che scivola lungo un muro).
Derivare funzioni inverse (la deduzione di $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ la utilizza).
Risolvere equazioni differenziali e curve di proprietà costante (curve di livello).

Derivazione implicita

La derivazione implicita trova dy/dx quando y è definita implicitamente da un'equazione (come x²+y²=25), senza prima risolvere per y.